上节说到我们有了一个线性分类函数,也有了判断解优劣的标准——即有了优化的目标,这个目标就是最大化几何间隔,但是看过一些关于SVM的论文的人一定记得什么优化的目标是要最小化||w||这样的说法,这是怎么回事呢?回头再看看我们对间隔和几何间隔的定义:

间隔:δ=y(wx+b)=|g(x)|

几何间隔:clip_image002

 

可以看出δ=||w||δ几何。注意到几何间隔与||w||是成反比的,因此最大化几何间隔与最小化||w||完全是一回事。而我们常用的方法并不是固定||w||的大小而寻求最大几何间隔,而是固定间隔(例如固定为1),寻找最小的||w||。

而凡是求一个函数的最小值(或最大值)的问题都可以称为寻优问题(也叫作一个规划问题),又由于找最大值的问题总可以通过加一个负号变为找最小值的问题,因此我们下面讨论的时候都针对找最小值的过程来进行。一个寻优问题最重要的部分是目标函数,顾名思义,就是指寻优的目标。例如我们想寻找最小的||w||这件事,就可以用下面的式子表示:

clip_image002[4]

但实际上对于这个目标,我们常常使用另一个完全等价的目标函数来代替,那就是:

clip_image002[6](式1)

不难看出当||w||2达到最小时,||w||也达到最小,反之亦然(前提当然是||w||描述的是向量的长度,因而是非负的)。之所以采用这种形式,是因为后面的求解过程会对目标函数作一系列变换,而式(1)的形式会使变换后的形式更为简洁(正如聪明的读者所料,添加的系数二分之一和平方,皆是为求导数所需)。

接下来我们自然会问的就是,这个式子是否就描述了我们的问题呢?(回想一下,我们的问题是有一堆点,可以被分成两类,我们要找出最好的分类面)

如果直接来解这个求最小值问题,很容易看出当||w||=0的时候就得到了目标函数的最小值。但是你也会发现,无论你给什么样的数据,都是这个解!反映在图中,就是H1与H2两条直线间的距离无限大,这个时候,所有的样本点(无论正样本还是负样本)都跑到了H1和H2中间,而我们原本的意图是,H1右侧的被分为正类,H2 左侧的被分为负类,位于两类中间的样本则拒绝分类(拒绝分类的另一种理解是分给哪一类都有道理,因而分给哪一类也都没有道理)。这下可好,所有样本点都进入了无法分类的灰色地带。

 
 
 
  clip_image002[8]

造成这种结果的原因是在描述问题的时候只考虑了目标,而没有加入约束条件,约束条件就是在求解过程中必须满足的条件,体现在我们的问题中就是样本点必须在H1或H2的某一侧(或者至少在H1和H2上),而不能跑到两者中间。我们前文提到过把间隔固定为1,这是指把所有样本点中间隔最小的那一点的间隔定为1(这也是集合的间隔的定义,有点绕嘴),也就意味着集合中的其他点间隔都不会小于1,按照间隔的定义,满足这些条件就相当于让下面的式子总是成立:

    yi[(w·xi)+b]≥1 (i=1,2,…,l) (l是总的样本数)

但我们常常习惯让式子的值和0比较,因而经常用变换过的形式:

    yi[(w·xi)+b]-1≥0 (i=1,2,…,l) (l是总的样本数)

因此我们的两类分类问题也被我们转化成了它的数学形式,一个带约束的最小值的问题:

clip_image002[10]

下一节我们从最一般的意义上看看一个求最小值的问题有何特征,以及如何来解。